Question

【題目】函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當0≤x≤1時，f（x）=x2．若直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點，則實數a的值為（　　）

A. n（n∈Z） B. 2n（n∈Z）

C. 2n或（n∈Z） D. n或（n∈Z）

Answer 1

【答案】C

【解析】先考慮的情形。

因為函數f（x）是定義在R上的偶函數，

所以當時，則， ；

當時，則， 。

①當時，由解得或，

即當時，直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點。

②當時，只有當直線y=x+a與f（x）=x2在區間[0,1)上相切，與的圖象在[1,2]上只有一個交點時才滿足條件。

由消去y整理得，則得。可驗證，當時，直線與的圖象在[1,2]上只有一個交點，滿足條件。

③當時，結合圖象可得不滿足條件。

綜上可得直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在[0,2]上有兩個不同公共點時的值為0和。

又函數f（x）是偶函數且周期為2，故實數的值為或。

選C。