Question

（坐標系與參數方程選做題）
（1）在極坐標系中，設圓ρ=4上的點到直線的距離為d，求d的最大值；
（2）θ取一切實數時，連接A（4sinθ，6cosθ）和B（-4cosθ，6sinθ）兩點的線段的中點為M，求點M的軌跡．

Answer 1

解：（1）將極坐標方程p=4轉化為普通方程：x²+y²=16，
p（cosθ+sinθ）=6可化為x+y=6，
在x²+y²=16上任取一點A（4cosa，4sina），則點A到直線的距離為
d==，它的最大值為7．
∴d的最大值為7．
（2）∵點M（x，y）是線段AB的中點，
∴x=，y=，
即 x=2sinθ-2cosθ，y=3cosθ+3sinθ
消去參數θ得
，
∴軌跡為焦點在y軸上的橢圓．
分析：（1）欲求d的最大值，即求出圓上一點何時到直線的距離最大，先將圓p=4和直線p（cosθ+sinθ）=6的極坐標方程化成直角坐標方程，再結合直角坐標系下的點到直線的距離公式求解即得．
（2）先利用中點坐標公式得點A，B與點M坐標之間的關系，得出其坐標適合的參數方程，最終消去參數即可得到點M軌跡的普通方程．
點評：本題考查軌跡方程、點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．