Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥平面ABCD，M是PC的中點，且PD=2
（1）求證：AP∥平面MBD； 
（2）求證：DM⊥BC；
（3）求三棱錐M-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）根據線面平行的判定定理證明OM∥PA即可．
（2）利用線面垂直的性質，證明BC⊥平面PAD即可，
（3）根據三棱錐的體積公式進行求解．

解答 解：（1）連接AC交BD于O，連接OM，
則OM是△PAC的中位線，
則OM∥PA，
∵OM?平面MBD，PA?平面MBD，
∴AP∥平面MBD； 
（2）∵PD⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，PD=2，
∴BC⊥平面PAD，
∵DM?平面平面PAD，
∴BC⊥DM，
即DM⊥BC；
（3）過M作ME⊥CD于E，
則ME⊥平面ABCD，且ME=$\frac{1}{2}$PD=1，
△BCD的面積S=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
則三棱錐M-BCD的體積V=$\frac{1}{3}$×2×1=$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查空間線面平行以及線面垂直的判斷以及幾何體的體積的計算，根據相應的判定定理和棱錐的體積公式是解決本題的關鍵．