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 [2012·浙江卷] 如圖1-5,在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBCADABABAD=2,BC=4,AA1=2,EDD1的中點(diǎn),F是平面B1C1E與直線AA1的交點(diǎn).

(1)證明:(i)EFA1D1

(ii)BA1⊥平面B1C1EF

(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值.

圖1-5

解:(1)證明:(ⅰ)因?yàn)?i>C1B1A1D1C1B1⊄平面A1D1DA,所以C1B1∥平面A1D1DA

又因?yàn)槠矫?i>B1C1EF∩平面A1D1DAEF

所以C1B1EF

所以A1D1EF.

(ⅱ)因?yàn)?i>BB1⊥平面A1B1C1D1

所以BB1B1C1.

又因?yàn)?i>B1C1B1A1

所以B1C1⊥平面ABB1A1

所以B1C1BA1.

在矩形ABB1A1中,FAA1的中點(diǎn),tan∠A1B1F=tan∠AA1B

即∠A1B1F=∠AA1B

BA1B1F

所以BA1⊥平面B1C1EF.

(2)設(shè)BA1B1F交點(diǎn)為H,連結(jié)C1H.

由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1HBC1與面B1C1EF所成的角.

在矩形AA1B1B中,ABAA1=2,得BH.

在直角△BHC1中,BC1=2BH,得

sin∠BC1H

所以BC1與平面B1C1EF所成角的正弦值是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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 [2012·浙江卷] 已知某三棱錐的三視圖(單位:cm)如圖1-1所示,則該三棱錐的體積是(  )

A.1 cm3  B.2 cm3

C.3 cm3  D.6 cm3

圖1-1

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 [2012·浙江卷] 設(shè)l是直線,αβ是兩個(gè)不同的平面(  )

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B.若lαlβ,則αβ

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