Question

四棱錐P-ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點。

（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論；
（3）若點E為PC的中點，求直線AE與平面PBC所成的角的正切值。

Answer 1

解：（1）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴。
（2）不論點E在何位置，都有BD⊥AE。
證明：連結AC，
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵PC⊥底面ABCD且BD平面ABCD，
∴BD⊥PC，
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不論點E在何位置，AE平面PAC，
∴都有BD⊥AE。
（3）連結BE，
∵PC⊥平面ABCD，
∴AB⊥PC，
又AB⊥BC，BC∩PC=C，
∴BA⊥平面PBC，
∴∠AEB是直線AE與平面PBC所成的角，
在直角△ABE中，tan∠AEB=，
∴直線AE與平面PBC所成的角的正切值為。