Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，雙曲線x²-y²=1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為（　　）

• A．

  x2

  8

  +

  y2

  4

  =1
• B．

  x2

  12

  +

  y2

  6

  =1
• C．

  x2

  16

  +

  y2

  8

  =1
• D．

  x2

  20

  +

  y2

  5

  =1

Answer 1

分析：確定雙曲線x²-y²=1的漸近線方程為y=±x，根據以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，可得（2，2）在橢圓上，再結合橢圓的離心率，即可確定橢圓的方程．

解答：解：由題意，雙曲線x²-y²=1的漸近線方程為y=±x
∵以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，∴邊長為4，
∴（2，2）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上
∴

4

a2

+

4

b2

=1
∵橢圓的離心率為

2

2

，
∴

a2-b2

a2

=（

2

2

）²
∴a²=2b²
∴a²=12，b²=6
∴橢圓方程為：

x2

12

+

y2

6

=1
故選B．

點評：本題考查雙曲線的性質，考查橢圓的標準方程與性質，考查學生的計算能力，正確運用雙曲線的性質是關鍵．