Question

定義在R上的函數f（x）=x-x³，f（x）=x²+1，f（x）=sinx，f（x）=e^-x-e^x中，同時滿足條件
①f（-x）+f（x）=0；
②對一切x₁，x₂∈[0，1]，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0兩個條件的（　　）

A．共有1個

B．共有2個

C．共有3個

D．共有4個

Answer 1

分析：由條件①可得函數是奇函數，條件②可得函數在[0，1]上為增函數，根據基本初等函數的奇偶性和單調性，逐一分析四個函數的單調性和奇偶性，可得答案．

解答：解：若f（-x）+f（x）=0，則函數f（x）為奇函數；
若對一切x₁，x₂∈[0，1]，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則函數在[0，1]上為增函數，
f（x）=x-x³是奇函數，且f′（x）=1-3x²，在[0，

3

3

]上，f′（x）≤0，函數為減函數；
f（x）=x²+1為偶函數，
f（x）=sinx是奇函數，且在[0，1]上為為增函數；
f（x）=e^-x-e^x是奇函數，但在[0，1]上為為減函數；
故選A

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性和函數的單調性，其中熟練掌握基本初等函數的單調性和奇偶性是解答的關鍵．