Question

4．如果雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一個焦點到漸近線的距離為3，且離心率為2則此雙曲線的方程$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$．

Answer 1

分析 利用雙曲線的焦點到漸近線的距離，求出b，離心率求出c，然后求解b，即可得到雙曲線方程．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一個焦點（c，0）到漸近線bx+ay=0的距離為3，
可得：3=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，b=3，離心率為2，可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=4$，解得：a=$\sqrt{3}$，
所求雙曲線方程為：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，考查計算能力．