Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，，，，E為AB的中點將沿CE折起，使點B到達(dá)點F的位置，且平面CEF與平面ADCE所成的二面角為．

求證：平面平面AEF；

求直線DF與平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

(1)由題意可得故平面，從而得到平面平面

(2) 以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸、軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系求出及平面的法向量，代入公式可得結(jié)果.

證明：在直角梯形中，由平面幾何的知識，得四邊形為正方形，

則

又平面，平面，所以平面.

又平面，所以平面平面.

解：由得是二面角的平面角，即 .

又，所以為正三角形.

以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸、軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

則

從而

設(shè)平面的一個法向量為，則即

，得

設(shè)直線與平面所成角為

則

∴直線與平面所成角的正弦值.