Question

已知冪函數f（x）=x-m2+2m+3（m∈Z） 為偶函數，且在區間（0，+∞）上是單調增函數．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=

f(x)

+(2b+1)x-b-1，若g（x）=0的兩個實根分別在區間（-3，-2），（0，1）內，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用冪函數f（x）=x-m2+2m+3（m∈Z） 為偶函數，且在區間（0，+∞）上是單調增函數，可得不等式，由此可求函數f（x）的解析式；
（2）利用g（x）=0的兩個實根分別在區間（-3，-2），（0，1）內，可得

g(-3)＞0 g(-2)＜0 g(0)＜0 g(1)＞0

，由此可求實數b的取值范圍．

解答：解：（1）∵冪函數f（x）=x-m2+2m+3（m∈Z） 為偶函數，且在區間（0，+∞）上是單調增函數
∴-m²+2m+3＞0
∴-1＜m＜3
∵m∈Z，函數f（x）為偶函數
∴m=1，此時f（x）=x⁴；
（2）g（x）=

f(x)

+(2b+1)x-b-1=x²+（2b+1）x-b-1
∵g（x）=0的兩個實根分別在區間（-3，-2），（0，1）內，
∴

g(-3)＞0 g(-2)＜0 g(0)＜0 g(1)＞0

，∴

b＜ 5 7 b＞ 1 5 b＞-1

，解得

1

5

＜b＜

5

7

．

點評：本題考查冪函數，考查函數的單調性與奇偶性，考查方程根問題，屬于中檔題．