Question

設y＝f（x)是定義在區間[－1，1]上的函數，且滿足條件：

（i)f（－1)＝f（1)＝0；

（ii)對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u)－f（v)|≤|u－v|．

（Ⅰ)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f（x)≤1－x；

（Ⅱ)判斷函數g（x)＝是否滿足題設條件；

（Ⅲ)在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的函數y＝f（x)，且使得對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u)－f（v)|＝|u－v|．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：由題設條件可得，當x∈[－1，1]時，有 　　  ， 即． （Ⅱ）答：函數g（x）滿足題設條件，驗證如下：g（－1）＝0＝g（1）．  對任意的， 　　  當時，有|g（u）－g（v）|＝|（1－u）－（1－v）|＝|u－v|； 　　  當時，同理有|g（u）－g（v）|＝|u－v|； 　  　當u·v<0時，不妨設u∈[－1，0]，v∈（0，1]， 有|g（u）－g（v）|＝|（1＋u）－（1－v）|＝|u＋v|≤|v－u|． 　　  所以，函數g（x）滿足題設條件． （Ⅲ）答：這樣的函數不存在．理由如下： 　　  假設存在f（x）滿足條件，則由f（－1）＝f（1）＝0 ， 得| f（1）－f（－1）|=0          ① 　　  由于對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u）－f（v）|＝|u－v|， 　　  所以，|f（1）－f（－1）|＝|1－（－1）|＝2．  ②  ①與②矛盾，因此假設不成立， 即這樣的函數不存在．