Question

對于三次函數（），定義：設f″（x）是函數y＝f′（x）的導數，若方程f″（x）＝0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數的“拐點”．有同學發現:“任何一個三次函數都有‘拐點’；任何一個三次函數都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發現為條件，若函數，則=（ ）

A．2010             B．2011             C．2012             D．2013

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：因為函數 =，

所以令h（x）=，m（x）=，則g（x）=h（x）+m（x）．

則h′（x）=x²-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=，故h（x）的對稱中心為（，1）．

設點p（x₀，y₀）為曲線上任意一點，則點P關于（，1）的對稱點P′（1-x₀，2-y₀）也在曲線上，∴h（1-x₀）=2-y₀ ，∴h（x₀）+h（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．

所以

==1005×2=2010．

由于函數m（x）=的對稱中心為（，0），可得m（x₀）+m（1-x₀）=0．

∴

==1005×0=0．

所以= +

=2010+0=2010，故答案為2010．

考點：本題主要考查函數的概念，函數圖象的對稱性，導數的計算。

點評：難題，運用化歸與轉化的數學思想方法，將函數g(x)的研究進行拆分，簡化了解題過程。解答此類題目，心理素質首先要過關，不畏難，靜心思考。