Question

函數f(x)=

x

x+1

的單調增區間是

（-∞，-1），（-1，+∞）

．

Answer 1

分析：首先求出函數的定義域，然后利用函數的單調性的證明方法證明函數在其定義域內的兩個不同區間上的單調性．

解答：解：函數f(x)=

x

x+1

的單調增區間是（-∞，-1），（-1，+∞）．
事實上，
函數f(x)=

x

x+1

的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
當x₁＜x₂＜-1時，
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁＜x₂＜-1，∴x₁+1＜0，x₂+1＜0，x₁-x₂＜0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＜0．
則f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數f(x)=

x

x+1

在區間（-∞，-1）上為增函數；
當x₁＞x₂＞-1時，
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁＞x₂＞-1，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＞0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＞0．
則f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數f(x)=

x

x+1

在區間（-1，+∞）上為增函數．
綜上，函數f(x)=

x

x+1

的單調增區間是（-∞，-1），（-1，+∞）．
故答案為（-∞，-1），（-1，+∞）．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，證明時注意因式分解要徹底，便于判斷差式的符號，該題還需要注意的是下結論時不能取并集，因此該題是易錯題．