Question

函數f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數，例如，函數f（x）=2x+1（x∈R）是單函數．下列命題：
①函數f（x）=x²（x∈R）是單函數；
②函數f(x)=

x

x-1

是單函數；
③若f（x）為單函數，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，，則f（x₁）≠f（x₂）；
④在定義域上具有單調性的函數一定是單函數．
其中的真命題是

②③④

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：由題意單函數的實質是一對一的映射，而單調的函數也是一對一的映射，據此可逐個判斷．

解答：解：①函數f（x）=x²（x∈R）不是單函數，例如f（1）=f（-1），顯然不會有1和-1相等，故為假命題；
②函數f(x)=

x

x-1

是單函數，因為若

x1

x1-1

=

x2

x2-1

，可推出x₁x₂-x₂=x₁x₂-x₁，即x₁=x₂，故為真命題；
③若f（x）為單函數，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，，則f（x₁）≠f（x₂）為真，
可用反證法證明：假設f（x₁）=f（x₂），則按定義應有x₁=x₂，與已知中的x₁≠x₂矛盾；
④在定義域上具有單調性的函數一定是單函數為真，因為單函數的實質是一對一的映射，而單調的函數也是，故為真．
故答案為②③④．

點評：本題為新定義，準確理解單函數并把它跟已知函數的性質聯系起來是解決問題的關鍵，屬基礎題．