Question

已知函數f（x）=-3x-x³，x∈R，若θ∈[0，

π

2

]時，不等式f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＜0恒成立，則實數m的取值范圍是

m＞4-2

2

．

Answer 1

分析：判斷f（x）為奇函數，在R上為減函數，原不等式可化為f（cos2θ-3）＜f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可轉化為t∈[-1，1]時，是否存在m∈R，使得g（t）=t2-mt+2m-2＞0恒成立，將m分離出來利用基本不等式即可求出m的取值范圍．

解答：解：函數f（x）=-3x-x³，故f（-x）=3x-（-x）³=-f（x），
∴f（x）為奇函數，
∵f′（x）=-3-3x²＜0，
∴f（x）在R上為減函數，
所以原不等式可化為f（cos2θ-3）＜f（2mcosθ-4m），
∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，則原不等式可轉化為：當t∈[-1，1]時，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立．
由t²-mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，得m＞t-2+

2

t-2

+4，t∈[-1，1]時，
令h（t）=（2-t）+

2

2-t

≥2

2

，即當且僅當t=2-

2

時，h（t）min=2

2

，
故m＞（t-2+

2

t-2

+4）max=4-2

2

．
故答案為：m＞4-2

2

點評：本題主要考查了函數的奇偶性和單調性，以及利用基本不等式求最值，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．