Question

已知函數f(x)＝為奇函數，f(1)＜f(3)，

且不等式0≤f(x)≤的解集是{x|－2≤x≤－1或2≤x≤4}．

(1)求a，b，c的值；

(2)是否存在實數m使不等式f(－2＋sinθ)＜－m²＋對一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

　(1)∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)對定義域內的一切x都成立，

即b＝0.

從而f(x)＝(x＋)．

又∵

即

∴f(2)＝0，解之，得c＝－4.

再由f(1)＜f(3)，得或從而a＞0.

此時f(x)＝(x－)

在[2,4]上是增函數．

注意到f(2)＝0，則必有f(4)＝，∴(4－)＝，

即a＝2.

綜上可知，a＝2，b＝0，c＝－4.

(2)由(1)，得f(x)＝(x－)，該函數在(－∞，0)以及(0，＋∞)上均為增函數．

又∵－3≤－2＋sinθ≤－1，

∴f(－2＋sin θ)的值域為

[－，]．

符合題設的實數m應滿足－m²＞，即m²＜0，故符合題設的實數m不存在．

【解析】略