Question

定義在R⁺上的函數f（x）滿足：
（1）存在a＞1，使f（a）≠0；
（2）對任意的實數b，有f（x^b）=bf（x）．若方程f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：令t=x^b，則b=log_xt，可得log_xt=，進而根據方程f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，我們可以得到2log_a²x+3log_am•log_ax+log_a²m-4=0的所有解大于1，令u=log_ax，則u²x+3log_am•u+log_a²m-4=0的所有解大于0，結合韋達定理，可以構造一個關于m的不等式組，解不等式組，即可得到答案．
解答：解：令t=x^b，則b=log_xt，
則f（t）=log_xt•f（x）
即log_xt=
若f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，
則的所有解大于1，
即log_a（mx）•log_a（mx²）-4=0的所有解大于1，
即2log_a²x+3log_am•log_ax+log_a²m-4=0的所有解大于1，
令u=log_ax，由a＞1，
則u²x+3log_am•u+log_a²m-4=0的所有解大于0
由韋達定理可得
解得：0＜m≤
故m的取值范圍為（0，]
點評：本題考查的知識點是函數與議程的綜合應用，抽象函數的應用，其中根據已知條件，得到log_xt=，從而將抽象問題具體化，是解答本題的關鍵．