Question

已知f（x）在R上是奇函數且f（x+2）=-f（x），當x∈（0，2）時，f（x）=2x²，則f（7）=

-2

．

Answer 1

分析：根據f（x+2）=-f（x）可得函數的周期，將f（7）轉化成f（2×4-1）=f（-1），再根據奇函數可得f（-1）=-f（1），最后再利用當x∈（0，2）時的解析式進而可以求出所求．

解答：解：∵f（x）在R上是奇函數，
∴函數f（-x）=-f（x），
又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數f（x） 的周期T=4，
∴f（7）=f（2×4-1）=f（-1）=-f（1），
∵當x∈（0，2）時，f（x）=2x²，
∴f（1）=2，
故f（7）=-f（1）=-2．
故答案為：-2

點評：此題考查了函數周期的定義及利用定義求函數的周期，還考查了奇函數性質及已知函數解析式代入求函數值，屬于基礎題．