Question

已知函數f（x）=（ax²-2x+1）•e^-x（a∈R，e為自然對數的底數）．
（I） 當a=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ） 若函數f（x）在[-1，1]上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先確定函數的定義域然后求出函數的導涵數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數的單調區間，然后根據極值的定義進行判定極值即可．
（II）令導函數f′（x）=-（x-1）（x-3）•e^-x≤0在x∈[-1，1]時恒成立即可求出a的范圍．

解答：解：（ I）當a=1時，f（x）=（x²-2x+1）•e^-x，
f'（x）=（2x-2）•e^-x-（x²-2x+1）•e^-x=-（x-1）（x-3）•e^-x…（2分）
當x變化時，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

所以，當a=1時，函數f（x）的極小值為f（1）=0，極大值為f（3）=4e^-3．…（5分）
（ II）f'（x）=（2ax-2）•e^-x-（ax²-2x+1）•e^-x=-e^-x[ax²-2ax-2x+3]
令g（x）=ax²-2（a+1）x+3
①若a=0，則g（x）=-2x+3，在（-1，1）內，g（x）＞0，
即f'（x）＜0，函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞減．…（7分）
②若a＞0，則g（x）=ax²-2（a+1）x+3，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x=

a+1

a

＞1，
當且僅當g（1）≥0，即0＜a≤1時，在（-1，1）內g（x）＞0，f'（x）＜0，
函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞減．…（9分）
③若a＜0，則g（x）=ax²-2（a+1）x+3，其圖象是開口向下的拋物線，
當且僅當

g(-1)≥0 g(1)≥0

，即-

5

3

≤a＜0時，在（-1，1）內g（x）＞0，f'（x）＜0，
函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞減．…（11分）
綜上所述，函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞減時，a的取值范圍是-

5

3

≤a≤1．…（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數單調區間等有關基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．