Question

設(shè)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，若|PF|=

3

2

，則弦長(zhǎng)|AB|等于（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

分析：求出拋物線焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=-1．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），由AB方程與拋物線方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出：x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，由此算出P的坐標(biāo)為M（

1

k2

，

2

k

），根據(jù)|PF|=

3

2

利用點(diǎn)到兩點(diǎn)間的距離公式解出k²=2，從而算出x₁+x₂=4，最后根據(jù)拋物線的定義可得弦長(zhǎng)|AB|的值．

解答：解：∵拋物線方程為y²=4x，
∴2p=4，p=2，可得拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=-1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) y2=4x

消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
∵過(guò)AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，
∴設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），可得y₀=

1

2

（y₁+y₂），
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=k•

2k2+4

k2

-2k=

4

k

，
得到y(tǒng)₀=

1

2

•

4

k

=

2

k

，所以x₀=

1

4

y02=

1

k2

，可得M（

1

k2

，

2

k

）．
∵|PF|=

3

2

，∴

(1- 1 k2 )2+ 4 k2

=

3

2

，解之得k²=2，
因此x₁+x₂=

2k2+4

k2

=4，根據(jù)拋物線的定義可得|AB|=x₁+x₂+p=4+2=6．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的長(zhǎng)．著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的知識(shí)，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題．