Question

在二項式(

x

+

3

x

)n的展開式中，各項系數之和為A，各項二項式系數之和為B，且A+B=72，則展開式中常數項的值為（　　）

• A、6
• B、9
• C、12
• D、18

Answer 1

分析：通過給x 賦值1得各項系數和，據二項式系數和公式求出B，列出方程求出n，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為0得常數項．

解答：解：在二項式(

x

+

3

x

)n的展開式中，
令x=1得各項系數之和為4ⁿ
∴A=4ⁿ
據二項展開式的二項式系數和為2ⁿ
∴B=2ⁿ
∴4ⁿ+2ⁿ=72解得n=3
∴(

x

+

3

x

)n=(

x

+

3

x

)3的展開式的通項為Tr+!=

C

r 3

(

x

)3-r(

3

x

)r=3r

C

r 3

x

3-3r

2

令

3-3r

2

=0得r=1
故展開式的常數項為T₂=3C₃¹=9
故選項為B

點評：本題考查求展開式各項系數和的方法是賦值法；考查二項式系數的性質；考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．