Question

如果數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列{a_n+1-ka_n}是公比為l的等比數(shù)列，則它構(gòu)成的數(shù)列{a_n+1-la_n}是公比為k的等比數(shù)列．已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=

3

5

，a2=

31

100

，且an+1=

1

10

an+(

1

2

)n+1，根據(jù)所給結(jié)論，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

5

2

[(

1

2

)n+1-(

1

10

)n+1]

．

Answer 1

分析：由an+1=

1

10

an+(

1

2

)n+1及n≥2時(shí)，an-

1

10

an-1=(

1

2

)n，兩式相除可判斷數(shù)列{an+1-

1

10

an}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，由結(jié)論可知{an+1-

1

2

an}是公比為

1

10

的等比數(shù)列，從而可分別表示出an+1-

1

10

an和an+1-

1

2

an，兩式相減即可求得答案．

解答：解：由an+1=

1

10

an+(

1

2

)n+1，得an+1-

1

10

an=(

1

2

)n+1，
則n≥2時(shí)，an-

1

10

an-1=(

1

2

)n，
∴

an+1- 1 10 an

an- 1 10 an-1

=

1

2

（n≥2），
∴數(shù)列{an+1-

1

10

an}是首項(xiàng)為a2-

1

10

a1=

31

100

-

3

50

=

1

4

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴an+1-

1

10

an=

1

4

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n+1①，
由所給結(jié)論知，{an+1-

1

2

an}是首項(xiàng)為a2-

1

2

a1=

31

100

-

3

10

=

1

100

，公比為

1

10

的等比數(shù)列，
∴an+1-

1

2

an=

1

100

×(

1

10

)n-1=(

1

10

)n+1②，
①-②，得

2

5

an=(

1

2

)n+1-(

1

10

)n+1，∴an=

5

2

[(

1

2

)n+1-(

1

10

)n+1]，
故答案為：

5

2

[(

1

2

)n+1-(

1

10

)n+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義、由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力．