Question

已知命題p：“關于x的方程x²+2mx+1=0有兩個不相等的實根”；命題q：“函數f（x）=x²-2（m-2）x+1在（1，2）上單調遞減”．
（Ⅰ）求命題p與命題q分別為真命題時相應的實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若命題“p∧（?q）”為真命題． 求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用命題p與命題q分別為真，可以求出實數m的取值范圍．
（Ⅱ）利用復合命題命題“p∧（?q）”為真命題． 可以求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵方程x²+2mx+1=0有兩個不相等的實根，
∴△=4m²-4＞0．（1分）
解得：m＞1或m＜-1…（3分）
∴命題 p為真時，實數m的取值范圍為：（-∞，-1）∪（1，+∞）…（4分）
又∵函數f（x）=x²-2（m-2）x+1在（1，2）上單調遞減，
且函數f（x）的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸方程是：x=m-2．
∴m-2≥2，得∴m≥4．
∴命題q為真時，實數m的取值范圍為：[4，+∞）…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知?q：m＜4
又因為命題“p∧（?q）”為真命題，所以p真且?q真．
  

m＞1或m＜-1 m＜4

      解得：m＜-1或1＜m＜4  …（11分）
∴p∧（?q）為真命題時，實數m的取值范圍為 （-∞，-1）∪（1，4）…（12分）

點評：本題主要考查利用復合命題的真假求參數的取值問題，要熟練掌握復合命題和簡單命題之間的關系．