Question

【題目】如圖，是棱長為2的正方體，為面對角線上的動點（不包括端點），平面交于點，于.

（1）試用反證法證明直線與是異面直線；

（2）設，將長表示為的函數，并求此函數的值域；

（3）當最小時，求異面直線與所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），值域；（3）

【解析】

（1）假設直線與是共面直線，利用公理2及長方體的相鄰兩個面不重合證明；

（2）設，利用平行線解線段成比例求得，得到，進一步求得，再由勾股定理列式求解，結合二次函數求值域；

（3）當時，最小，此時，由于，又，為異面直線與所成角的平面角，通過解直角三角形得答案．

（1）證明：假設直線與是共面直線，

設直線與都在平面上，則、、、．

因此，平面、平面都與平面有不共線的三個公共點，

即平面和平面重合（都與平面重合），

這與長方體的相鄰兩個面不重合矛盾，

于是，假設不成立，

直線與是異面直線；

（2）解：正方體的棱長為2，，

設，則，得，

，，得，

，

當時，有最小值為，當時，，

函數的值域為；

（3）當時，最小，此時，

在底面中，，，，

又，為異面直線與所成角的角，

在中，為直角，，

，

∴異面直線與所成角的大小為．