Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過點F作一條漸近線的垂線，垂足為A，△OAF的面積為

3

2

a2（O為原點），則此雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

分析：依題意，可求得過F（c，0）與一條漸近線bx-ay=0垂直的直線與bx-ay=0的交點A的坐標，利用△OAF的面積為

3

2

a2，即可求得此雙曲線的離心率．

解答：解：設過F（c，0）與一條漸近線bx-ay=0垂直的直線為l，則l的方程為：y=-

a

b

（x-c），
由

y= b a x y=- a b (x-c)

得：x=

a2

c

，y=

ab

c

，即A（

a2

c

，

ab

c

），
∵△OAF的面積為

3

2

a2，
∴

1

2

|OF|×y_A=

1

2

c×

ab

c

=

3

2

a2，
∴b=

3

a，
∴

c2

a2

=

a2+b2

a2

=

a2+3a2

a2

=4，
∴e=

c

a

=2．
故答案為：2．

點評：本題考查雙曲線的性質，考查轉化思想與方程思想，求得A的坐標是關鍵，屬于中檔題．