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設
e1
，
e2
是兩個相互垂直的單位向量，且
a
=2
e1
+
e2
，
b
=
e1
-λ
e2

（1）若
a
⊥
b
，求λ的值；
（2）當λ=0時，求
a
，
b
夾角的余弦值．
分析：（1）根據兩個向量垂直的性質可得
a
•
b
=0，即2
e1
2+(1-2λ)
e1
e2
-λ
e2
2=0 再由
e1
2=
e2
2=1，
e1
e2
=0，化簡求得 λ的值．
（2）由條件求得|
b
|、
a
•
b
、|
a
|的值，在利用兩個向量的夾角公式求得
a
，
b
夾角的余弦值．
解答：解：（1）∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=0，即(2
e1
+
e2
)•(
e1
-λ
e2
)=0．…（1分）
化簡得2
e1
2+(1-2λ)
e1
e2
-λ
e2
2=0．…（2分）
又
e1
，
e2
是兩個相互垂直的單位向量，∴
e1
2=
e2
2=1，
e1
e2
=0．…（3分）
∴2-λ=0，解得 λ=2．…（4分）
（2）當λ=0時，
b
=
e1
-λ
e2
=
.
e1
，|
b
|=1，
a
•
b
=(2
e1
+
e2
)•
e1
=2
e1
2=2，…（5分）
∵|
a
|2=
a
2=(2
e1
+
e2
)2=4
e1
2+4
e1
•
e2
+
e2
2=5，∴|
a
|=
5
…（7分）
∴cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
2
5
=
2
5
5
．…（9分）
點評：本題主要考查用兩個向量的數量積表示兩個向量的夾角，兩個向量垂直的性質，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設
e1
，
e2
是兩個相互垂直的單位向量，且
a
=-(2
e1
+
e2
)，
b
=
e1
-λ
e2

（1）若
a
∥
b
，求λ的值；
（2）若
a
⊥
b
，求λ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設e1，e2是兩個相互垂直的單位向量，且數學公式=-（2e1+e2），數學公式=e1-λe2．
（1）若數學公式∥數學公式，求λ的值；
（2）若數學公式⊥數學公式，求λ的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設
e1
，
e2
是兩個相互垂直的單位向量，且
a
=2
e1
+
e2
，
b
=
e1
-λ
e2

（1）若
a
⊥
b
，求λ的值；
（2）當λ=0時，求
a
，
b
夾角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設
e1
，
e2
是兩個相互垂直的單位向量，且
a
=-(2
e1
+
e2
)，
b
=
e1
-λ
e2

（1）若
a
∥
b
，求λ的值；
（2）若
a
⊥
b
，求λ的值．

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