Question

（2012•杭州一模）已知函數f（x）=

3

sinxcosx+cos2x-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、對稱軸方程及單調區間；
（Ⅱ）現保持縱坐標不變，把f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍，得到新的函數h（x）；
（ⅰ）求h（x）的解析式；
（ⅱ）△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足

cosA

cosB

=

b

a

，h（A）=

3 -1

2

，c=2，試求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角的三角函數公式降次，再用輔助角公式合并得f（x）=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，再結合函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質的有關公式，可得f（x）的最小正周期、對稱軸方程及單調區間；
（II）（i）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的公式，不難得到h（x）的解析式為h（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）-

1

2

；
（ii）根據h（A）的值結合三角形內角的范圍和特殊三角函數的值，求得A=

π

3

，再由

cosA

cosB

=

b

a

結合正弦定理，討論得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最后在兩種情況下分別解此三角形，再結合面積公式可求出△ABC的面積．

解答：解：（I）∵f（x）=

3

sinxcosx+cos2x-1=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

-

1

2

，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，得x=

π

6

+

1

2

kπ，k∈Z，所以函數圖象的對稱軸方程為：x=

π

6

+

1

2

kπ，（k∈Z）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解之得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，所以函數的單調增區間為[-

π

3

，

π

6

+kπ]，（k∈Z）
同理可得，函數的單調減區間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，（k∈Z）
（II）∵保持縱坐標不變，把f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍，得到新的函數h（x）
∴h（x）=f（

1

4

x）=sin（

1

2

x+

π

6

）-

1

2

，
（i）h（x）的解析式為h（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）-

1

2

；
（ii）∵h（A）=sin（

1

2

A+

π

6

）-

1

2

=

3 -1

2

，
∴sin（

1

2

A+

π

6

）=

3

2

，結合A∈（0，π）得A=

π

3

∵

cosA

cosB

=

b

a

=

sinB

sinA

∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=

π

2

①當A=B時，因為c=2，A=

π

3

，所以△ABC是邊長為2的等邊三角形，
因此，△ABC的面積S=

3

4

×2²=

3

．
②當A+B=

π

2

時，因為c=2，A=

π

3

，所以△ABC是斜邊為2的直角三角形
∴a=csinA=2×

3

2

=

3

，b=ccosA=2×

1

2

=1
因此，△ABC的面積S=

1

2

×

3

×1=

3

2

．
綜上所述，得△ABC的面積是

3

或

3

2

．

點評：本題綜合了三角恒變換、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、利用正余弦定理解三角形等知識，對三角函數的知識進行了綜合考查，是一道中檔題．