Question

已知（）
（1）若方程有3個不同的根，求實數的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，是否存在實數，使得在上恰有兩個極值點，且滿足，若存在，求實數的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）不存在，參考解析

試題分析：（1）由已知（），若方程有3個不同的根，則可得到或對兩個方程分別討論即可到結論.
（2）在（1）的條件下，是否存在實數，使得在上恰有兩個極值點，通過對函數求導，判斷導函數的根的情況，通過換元使得等式簡潔些.要滿足，由于，所以可得，通過驗證根是否存在.即可得到結論.
（1）解：由得：或
可得或且
∵方程有3個不同的根，
∴方程有兩個不同的根
∴
又∵，且要保證能取到0∴ 即
∴．
（2）解：∵
令，設 
∴
 ∵ ∴ ∴

  
∵ ∴， ∴
∴存在，使得，另外有，使得
假設存在實數，使得在上恰有兩個極值點，且滿足
則存在，使得，另外有，即
∴，∴，即
即 （*）
設
∴ 
∵ ∴
∴ ∴在上是增函數
∴
∴方程（*）無解，
即不存在實數，使得在上恰有兩個極值點，且滿足