Question

已知函數f（x）為偶函數，且f（x）在（0，+∞）上為增函數，則f（x）在（-∞，0）上是增函數還是減函數？請判斷并給予證明．

Answer 1

分析：利用函數單調性的定義判斷即可．任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則-x₁＞-x₂＞0，利用函數f（x）為偶函數，且f（x）在（0，+∞）上為增函數，即可作出判斷．

解答：解：f（x）在（-∞，0）上是減函數，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在（0，+∞）上為增函數，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又f（x）是偶函數，
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂），
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數．

點評：本題考查奇偶性與單調性的綜合，著重考查函數單調性的定義的應用，屬于中檔題．