Question

設f（x）是連續的偶函數，且當x＞0時是單調函數，則滿足f(2x)=f(

x+1

x+4

)的所有x之和為

-8

．

Answer 1

分析：f（x）為偶函數推出f（-x）=f（x），x＞0時f（x）是單調函數推出f（x）不是周期函數．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根與系數的關系進行求解；

解答：解：∵f（x）為偶函數，f（2x）=f（-2x）且當x＞0時f（x）是單調函數，
又滿足f(2x)=f(

x+1

x+4

)，
∴2x=

x+1

x+4

或-2x=

x+1

x+4

，
可得，2x²+7x-1=0或2x²+9x+1=0，
∴x₁+x₂=-

7

2

或x₃+x₄=-

9

2

，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-

7

2

-

9

2

=-8，
故答案為-8；

點評：本題屬于函數性質的綜合應用，解決此類題型要注意變換自變量與函數值的關系：①奇偶性：f（-x）=f（x）②增函數x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）；減函數x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）．