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已知拋物線x²=2y的焦點為F，準線為l，過l上一點P，作拋物線的兩條切線，切點分別為A、B，某數學興趣小組在研究討論中，提出如下兩個猜想：
①直線PA、PB垂直；
②等式 $數學公式$ 中λ為常數；現請你進行一一驗證這兩個猜想是否成立．

解：①由題意，可設點P（t，-0.5）．A（2a，2a²）．B（2b，2b²）．對2y=x²求導得：y'=x．易知； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即a，b滿足2x²+0.5=4x²-2tx．∴2x²-2tx-0.5=0．∴ab= $\text{[math]}$ ．
又兩切線PA，PB的斜率為2a，2b．而2a×2b=4ab=-1．故PA，PB垂直．
② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵P（a+b，- $\text{[math]}$ ），∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴λ=-1
分析：①要證直線PA、PB垂直，只需證相應斜率為-1；
②分別用坐標表示向量，分別計算 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可得λ=-1．
點評：本題以拋物線為載體，考查導數的運用，考查直線的垂直，考查用坐標表示向量，有一定的綜合性．

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與

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•

=λ

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