Question

已知點P(2，0)及圓C：x²＋y²－6x＋4y＋4＝0．

(1)若直線l過點P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程；

(2)設過點P的直線l₁與圓C交于M、N兩點，當|MN|＝4時，求以線段MN為直徑的圓Q的方程；

(3)設直線ax－y＋1＝0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P(2，0)的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由

Answer 1

答案：
解析：

(1)設直線的斜率為(存在)則方程為． 　　又圓C的圓心為，半徑， 　　由，解得． 　　所以直線方程為，即． 　　當的斜率不存在時，的方程為，經驗證也滿足條件． 　　(2)由于，而弦心距， 　　所以，所以為的中點． 　　故以為直徑的圓的方程為． 　　(3)把直線即．代入圓的方程， 　　消去，整理得． 　　由于直線交圓于兩點， 　　故，即，解得． 　　則實數的取值范圍是． 　　設符合條件的實數存在， 　　由于垂直平分弦，故圓心必在上． 　　所以的斜率，而，所以．