Question

已知向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），若＜

a

，

b

＞=60°，則直線：xcosα-ysinα+

1

2

=0與圓：（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的位置關(guān)系是（　　）

A．相交

B．相交且過圓心

C．相切

D．相離

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積的定義可求得cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

，求出圓心到直線的距離正好等于圓的半徑，從而得出結(jié)論．

解答：解：由題意可得|

a

|=2，|

b

|=3，

a

•

b

=2×3×cos60°=2×3×=3，
又

a

•

b

=（2cosα，2sinα）•（3cosβ，3sinβ）=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

．
圓（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的圓心坐標(biāo)為（cosβ，-sinβ），半徑為1；
∵圓心（cosβ，-sinβ）到直線2xcosα-2ysinα+1=0的距離為

|2cosαcosβ+2sinαsinβ+1|

(2cosα)2+ (2si nα) 2

=

1+1

2

=1，
∴直線2xcosα-2ysinα+1=0與圓（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1相切，
故選 C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，綜合應(yīng)用向量，點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．