Question

(拓展深化)如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，

(1)寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；
(2)連接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的長．

Answer 1

(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM，證明見解析   (2)

解　(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.
以下證明：△AMF∽△BGM.
∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E
＝∠BMG，∠A＝∠B，
∴△AMF∽△BGM.
(2)當α＝45°時，
可得AC⊥BC且AC＝BC.
∵M為AB的中點，
∴AM＝BM＝2.
又∵△AMF∽△BGM，
∴＝
∴BG＝＝＝.
又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，
∴CG＝4－＝.
∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝＝.