Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁＞0且Sm=Sn（m≠n）．問：它的前多少項(xiàng)的和最大？

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式分別表示出S_m和S_n，讓兩者相等，提取（m-n）后，即可得到d與首項(xiàng)的關(guān)系式，由首項(xiàng)大于0判斷出公差d小于0，得到此數(shù)列為遞減數(shù)列，所以存在第k項(xiàng)大于等于0，第k+1項(xiàng)小于0，列出不等式組，求出k的取值范圍，分m與n一奇一偶和同奇偶兩種情況考慮，分別求出和最大時(shí)的前多少項(xiàng)即可．
解答：解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由Sm=Sn得
ma₁+d=na₁+d，
化簡得：2（m-n）a₁+d[m²-n²-（m-n）]=0，
變形為：（m-n）[2a₁+d（m+n-1）]=0，
由m≠n，解得：d=-，
又a₁＞0，m+n-1＞0，得到d＜0，所以數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，
所以存在k∈N，使，即，
解得：＜k≤，
①當(dāng)m，n一奇一偶時(shí)，k=，此時(shí)a_k==0，
所以數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和與前項(xiàng)和相等且最大；
②當(dāng)m，n同奇偶時(shí)，k=，此時(shí)a_k=＞0，a_k+1=+1＜0，
所以數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和最大．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡求值，是一道綜合題．