Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分別是AC，PB的中點，PA=AB=2．
（Ⅰ）求證EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求直線EF與平面PAB所成的角；
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD的外接球的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結BD，則E是BD的中點，又F是PB的中點，EF∥平面PCD．
（Ⅱ）取AB的中點H，連接EH，HF，推導出∠EFH是直線EF與平面PAB所成的角，由此能求出直線EF與平面PAB所成的角．
（Ⅲ）設四棱錐P-ABCD的外接球半徑為R，由PA=AB=AD=2，求出$R=\sqrt{3}$．由此能求出外接球的體積．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，連結BD，則E是BD的中點，又F是PB的中點，
∴EF∥PD，又∵EF?平面PCD，PD?面PCD
∴EF∥平面PCD．…（4分）
解：（Ⅱ）取AB的中點H，連接EH，HF．
在正方形ABCD中，E是BD的中點，有HE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，HE?平面ABCD，∴PA⊥HE，
∵PA∩AB=A，∴HE⊥平面PAB，
∴HF是直線EF在平面PAB的射影，
∴∠EFH是直線EF與平面PAB所成的角．
在直角三角形FEH中，HE=HF=1，∴tan∠EFH=1．
∴直線EF與平面PAB所成的角為45°．…（9分）
（Ⅲ）設四棱錐P-ABCD的外接球半徑為R，PA=AB=AD=2，
則$2R=\sqrt{A{B^2}+A{D^2}+A{P^2}}=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$，即$R=\sqrt{3}$．
∴外接球的體積為：
$V=\frac{4}{3}π{R^3}=\frac{4}{3}π{（{\sqrt{3}}）^3}=4\sqrt{3}π$．…（13分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的求法，考查四棱錐外接球體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．