Question

如圖，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點，又二面角PCDB為45°.

（1）求證：AF∥平面PEC；

（2）求證：平面PEC⊥平面PCD；

（3）設AD=2，CD=2，求點A到平面PEC的距離.

Answer 1

（1）證明：取PC的中點G，連結EG、FG.

∵F是PD的中點，∴FG∥CD，且FG=CD.

而AE∥CD，且AE=CD，

∴EA∥GF，且EA=GF.

故四邊形EGFA是平行四邊形，

從而EG∥AF.

又AF平面PEC，EG平面PEC，

∴AF∥平面PEC.

（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，

∴AD是PD在平面ABCD上的射影.

又CD⊥AD，

∴CD⊥PD，CD⊥AD，

∠PDA就是二面角PCDB的平面角.

∴∠ADP=45°,則AF⊥PD.

又AF⊥CD，PD∩CD=D，

∴AF⊥平面PCD.

由（1），EG∥AF，

∴EG⊥平面PCD.

而EG平面 PEC，∴平面 PEC⊥平面PCD.

（3）解析：過F作FH⊥PC交PC于H，

又平面PEC⊥平面PCD，則FH⊥平面PEC，∴FH為點F到平面PEC的距離.

而AF∥平面PEC，故FH等于點A到平面PEC的距離.

在△PFH與△PCD中，

∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC為公共角，∴△PFH∽△PCD，.

∵AD=2，CD=2，PF=，PC==4，

∴FH=·2=1.

∴點A到平面PEC的距離為1.