Question

已知a，b，x，y均為正數，且a≠b．
（Ⅰ）求證：（

a2

x

+

b2

y

）（x+y）≥（a+b）²，并指出“=”成立的條件；
（Ⅱ）求函數f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

（0＜x＜

1

3

）的最小值，并指出取最小值時x的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵（

a2

x

+

b2

y

）（x+y）=a²+

ya2

x

+

xb2

y

+b²=a²+b²+（

ya2

x

+

xb2

y

）
≥a²+b²+2

ya2 x • xb2 y

=a²+b²+ab=（a+b）²，當且僅當ay=bx時取等號．

（II）∵f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

=

9

3x2

+

9

1-3x2

=（

9

3x2

+

9

1-3x2

）（3x²+1-3x²）
由（I）知，上式≥（3+3）²=36，當且僅當3x²=1-3x²即x²=

1

6

時等號成立，
∴函數f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

（0＜x＜

1

3

）的最小值36，取最小值時x的值為

6

6

．