Question

已知圓x²+y²-6x-4y+10=0，直線L₁：y=kx，L₂：3x+2y+4=0，x在什么范圍內取值時，圓與L₁交于兩點？又設L₁與L₂交于P，L₁與圓的相交弦中點為Q，當k于上述范圍內變化時，求證：|OP|•|OQ|為定值．

Answer 1

分析：直線與圓相交求圓心和直線的距離小于半徑即可；證明|OP|•|OQ|為定值，先求P，Q的坐標然后化簡即可．

解答：解：x²+y²-6x-4y+10=0 即   （x-3）²+（y-2）²=3圓與L₁交于兩點
可知

|3k-2|

1+k2

＜

3

解之得

6- 30

6

＜k＜

6+ 30

6

又L₁與L₂交于P，

y=kx 3x+2y+4=0

又可求P(

-4

3+2k

，

-4k

3+2k

)，
L₁與圓的相交弦中點為Q，圓心（3，2）與直線y=kx垂直的直線：y-2=-

1

k

(x-3)
它與y=kx的交點Q(

3k+3

k2+1

，

k(2k+3)

k2+1

)
∴|OP|•|OQ|=

4 1+k2

3+2k

• 

3+2k

1+k2

=4（定值）．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，學生化簡、數學運算能力．