Question

【題目】已知每一項都是正數的數列滿足， ．

（1）用數學歸納法證明： ；

（2）證明： ；

（3）記為數列的前項和，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）由于是隔項，所以先由求出與之間關系，并在利用歸納假設時，注意對稱性，兩個式子同時運用： ，（2）奇數項隔項遞減，且最大值為，所以研究偶數項單調性：隔項遞增，且最小值為，（同（1）的方法給予證明），最后需證明，根據歸納可借助第三量，作差給予證明；（3）先探求數列遞推關系： ，再利用等比數列求和公式得.

試題解析：（1）由題知， ，

①當時， ， ，

， 成立；

②假設時，結論成立，即，

因為

所以

即時也成立，

由①②可知對于，都有成立.

（2）由（1）知， ，

所以，

同理由數學歸納法可證，

.

猜測： ，下證這個結論.

因為，

所以與異號.注意到，知， ，

即.

所以有，

從而可知.

（3）

所以

所以