Question

f（x）=

3

sin（wx+?）(w＞0，|?|＜

π

2

)，已知f（x）周期為8，對(duì)稱(chēng)軸為

10

3

（1）求f（x）解析式
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[-

8

3

，-2]恒有|g（x）-m|＜2成立，求m取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得周期T=8，從而可求ω；再由對(duì)稱(chēng)軸為x=

10

3

，|φ|＜

π

2

，可求得φ，從而可求f（x）解析式；
（2）函數(shù)y=g（x）與y=f（x）關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)⇒g（x）=f（2-x）=

3

sin（

π

6

-

πx

4

），x∈[-

8

3

，-2]⇒

π

6

-

πx

4

∈[

2π

3

，

5π

6

]，從而可得g（x）∈[

3

2

，

3

2

]，繼而可得m的范圍．

解答：解：（1）由已知得周期T=8，則ω=

π

4

，
又對(duì)稱(chēng)軸x=

10

3

，則f（x）=

3

sin（

πx

4

+φ），
由對(duì)稱(chēng)軸x=

10

3

得，

πx

4

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=kπ-

π

3

（k∈Z），
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

3

，
∴f（x）=

3

sin（

πx

4

-

π

3

）…4分
（2）函數(shù)y=g（x）與y=f（x）關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，則
g（x）=f（2-x）=

3

sin（

π

6

-

πx

4

）…6分
∵x∈[-

8

3

，-2]，
∴

π

6

-

πx

4

∈[

2π

3

，

5π

6

]，
∴

1

2

≤sin（

π

6

-

πx

4

）≤

3

2

，
∴

3

2

≤

3

sin（

π

6

-

πx

4

）≤

3

2

…8分
|g（x）-m|＜2恒成立，則有g(shù)（x）-2＜m＜g（x）+2，
∵（g（x）-2）_max=-

1

2

，（g（x）+2）_min=

3

2

+2…10分
∴m∈（-

1

2

，

3

2

+2）…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．