Question

已知函數f（x）=

3

sin（π-x）+cosx
（1）求f（

π

3

）；
（2）求f（x）的值域；
（3）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）將x=

π

3

代入函數解析式，計算即可得到結果；
（2）f（x）解析式利用誘導公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可求出f（x）的值域；
（3）根據題意及f（x）解析式求出g（x）解析式，根據正弦函數的遞增區間求出x的范圍，即可確定出g（x）的遞增區間．

解答：解：（1）根據題意得：f（

π

3

）=

3

sin（π-

π

3

）+cos

π

3

=

3

×

3

2

+

1

2

=2；
（2）f（x）=

3

sin（π-x）+cosx=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），
∵-1≤2sin（x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的值域為[-2，2]；
（3）由（2）知，f（x）=2sin（x+

π

6

），
依題意知g（x）=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
則函數y=g（x）的單調增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，正弦函數的定義域與值域，以及正弦函數的遞增區間，熟練掌握公式是解本題的關鍵．