Question

（本題滿分16分）

已知函數，且）．

（1）討論函數的單調性；

（2）若，關于的方程有唯一解，求的值；

（3）當時，證明: 對一切，都有成立．

Answer 1

（1）由已知得x＞0且．

當k是奇數時，，則f(x)在(0,+)上是增函數;       ……………2分

當k是偶數時，則.　    ……………………4分

所以當x時，，當x時，.

故當k是偶數時，f (x)在上是減函數，在上是增函數．……………5分

（2）若，則.

記g (x) = f (x) – 2ax = x ² – 2 a xlnx – 2ax, ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；     …………………………6分

令,得.因為，

所以（舍去），.  ……………………7分

當時，，在是單調遞減函數；

當時，，在上是單調遞增函數．

當x=x₂時, ，.        …………………………8分

因為有唯一解，所以.

則 即    …………………………9分

兩式相減得因為a>0，所以.……10分

設函數，

因為在x>0時，h (x)是增函數，所以h (x) = 0至多有一解．

因為h (1) = 0，所以方程(*)的解為x ₂ = 1，從而解得…………11分

（3）當時， 問題等價于證明，…………13分

由導數可求的最小值是，當且僅當時取到，………14分

設，則，

易得，當且僅當 時取到，…………15分

從而對一切，都有成立．故命題成立．…………16分