Question

已知函數f（x）=-2cos²x-sinx+a+1在[0，

π

2

]上有兩個不同零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用二次函數的單調性和圖象與x軸相較于兩個交點的充要條件即可解出．

解答：解：∵x∈[0，

π

2

]，∴0≤sinx≤1．
∵函數f（x）=-2cos²x-sinx+a+1=2(sinx-

1

4

)2+a-

9

8

，
令sinx=t，則t∈[0，1]，
設g（t）=2(t-

1

4

)2+a-

9

8

，則函數g（t）的最小值=g(

1

4

)=a-

9

8

；
又g（0）=a-1，g（1）=a，∴g（0）＜g（1）．
∵函數g（t）=0有兩個不同的零點，∴a-

9

8

＜0＜a-1，解得1＜a＜

9

8

．
故a的取值范圍為1＜a＜

9

8

．

點評：正確理解二次函數的單調性與函數的零點及換元法是解題的關鍵．