Question

如圖：四棱錐P―ABCD底面為一直角梯形，

，E是PC中點.

（1）求證：平面

（2）求證：

（3）假定的平面角的正切值

Answer 1

解法一：（1）∵PA⊥平面ABCD，   ∴PA⊥DC，

∵DC⊥AD且AD∩PA=A，         ∴DC⊥面PAD。

∴DC面PDC。                  ∴平面PDC⊥平面PAD。

（2）證明：取PD中點F，連接EF，FA。

∵E為PC中點，

∴在△PDC中，EF，     ∴EFAB。

∴ 四邊形ABEF為平行四邊形，即BE//AF。

∵ AF面PAD且BE面PAD， ∴BE//平面PAD。 

（3）解：連接AC，取AC中點O，連接EO。

在△APC中，EOPA。

∵PA⊥平面ABCD，  ∴EO⊥平面ABCD。

過O作OG⊥BD交BD于G，連接EG。

由三垂線定理知：∠EGO為所求二面角E―BD―C的平面角。

設PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a

連DO并延長交AB于B′，則四邊形AB ′CD為正方形，且B′B=a

O為DB′中點，過B′作B′G′⊥DB于G′

∴OG=

在△EOG中，tan∠EGO=，

故二面角E―BD―C的平面角的正切值為 

解法二：（1）同解法一  

（2）同解法一 

（3）如圖建立空間直角坐標系，設AB=a，

則B（0，a，0），D（－2 a，0，0），C（－2a，2 a，0）

P（0，0，2a），A（0，0，0）

∴

∴

∵PA⊥平面ABCD， 

∴是平面ABCD的一個法向量，且

設平面BDE的一個法向量為m=（x，y，z）

則m⊥

∴m?

得

令z=1   則m=（1，－2，1）

設與m所成角為

則

∴

∴二面角E―BD―C的平面角的正切值為