Question

已知△ABC的兩頂點A、B分別是雙曲線2x²-2y²=1的左、右焦點，且sinC是sinA、sinB的等差中項．
（Ⅰ）求頂點C的軌跡T的方程；
（Ⅱ）設P（-2，0），M、N是軌跡T上不同兩點，當PM⊥PN時，證明直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件可得|BC|+|AC|=2|AB|=4，根據橢圓的定義，即可求得點C的軌跡T的方程；
（Ⅱ）設直線MN的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理即PM⊥PN，利用向量知識，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：由條件知A （-1，0 ），B （1，0 ），且sinA+sinB=2sinC
∴|BC|+|AC|=2|AB|=4                            …（2分）
∴點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長2a=4的橢圓（不包括x軸上兩點）．…（3分）
∴點C的軌跡T的方程是

x2

4

+

y2

3

=1 （x≠±2）…（5分）
（Ⅱ）證明：設M （x₁，y₁）、N （x₂，y₂），直線MN：x=my+b   …（6分）
由

x=my+b 3x2+4y2=12

，得 （3m²+4）y²+6mby+3b²-12=0…（7分）
∴y₁+y₂=-

6mb

3m2+4

，y₁y₂=

3b2-12

3m2+4

∵PM⊥PN，

PM

=（x₁+2，y₁），

PN

=（x₂+2，y₂）
∴

PM

•

PN

=（ x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（my₁+b+2 ） （my₂+b+2）+y₁y₂=0…（9分）
整理，得（m²+1）y₁y₂+m （b+2）（y₁+y₂）+（b+2）²=0    …（10分）
∴（m²+1）•

3b2-12

3m2+4

+m （b+2）•（-

6mb

3m2+4

）+（b+2）²=0
化簡，得7b²+16b+4=0                            …（11分）
解得b=-

2

7

或b=-2（舍去）                        …（12分）
故直線MN：x=my-

2

7

過定點 （-

2

7

，0 ）               …（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．