Question

8．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長AB=1．過點A₁的平面α與正方體的面相交，交線圍成一個正三角形．
（1）在圖中畫出這個正三角形（不必說明畫法和理由）；
（2）平面α將該正方體截成兩個幾何體，求體積較大的幾何體的體積和表面積．

Answer 1

分析 （1）連接A₁D，AB，BD，則△A₁BD為所求三角形；
（2）使用作差法求出幾何體的體積，求出各個面的面積即可得出幾何體的表面積．

解答 解：（1）連接A₁D，AB，BD，則△A₁BD為所求三角形，如圖所示：

（2）平面α將正方體截成三棱錐A₁-ABD和多面體BCD-A₁B₁C₁D₁兩部分
V_A1-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×1×1×1=$\frac{1}{6}$，
V_{多面體BCD-A1B1C1D1}=1-$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$．
因此體積較大的幾何體是多面體BCD-A₁B₁C₁D₁，其體積為$\frac{5}{6}$．
由BD=$\sqrt{2}$，得S_△A1BD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
又S_△BCD=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，S_{正方形BB1C1C}=1，
故多面體BCD-A1B1C1D1的表面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}×3+1×3=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了空間幾何體的體積與表面積計算，屬于中檔題．