Question

已知曲線E：ax²＋by²＝1(a>0，b>0)，經過點M的直線l與曲線E交于點A、B，且＝－2.
(1)若點B的坐標為(0，2)，求曲線E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直線AB的方程．

Answer 1

（1）x²＋＝1（2）y＝x－1.

(1)設A(x₀，y₀)，由已知B(0，2)，M(，0)，所以＝，＝(x₀－，y₀)．
由于＝－2，所以(－，2)＝－2(x₀－，y₀)，所以即A(，－1)，將A、B點的坐標代入曲線E的方程，得解得
所以曲線E的方程為x²＋＝1.
(2)當a＝b＝1時，曲線E為圓x²＋y²＝1，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．又＝－2，
所以＝－2(x₁－，y₁)，
即有＋＝1①，＋＝1②，由①×4－②，得(2x₁＋x₂)(2x₁－x₂)＝3，所以2x₁－x₂＝，解得x₁＝，x₂＝0.由x₁＝，得y₁＝±.當A時，B(0，－1)，此時k_AB＝－，直線AB的方程為y＝－x＋1；
當A時，B(0，1)，此時k_AB＝，直線AB的方程為y＝x－1.