Question

如圖，點為橢圓右焦點，圓與橢圓的一個公共點為，且直線與圓相切與點。

（1）求的值及橢圓的標準方程；
（2）設動點滿足，其中是橢圓上的點，為原點，直線與的斜率之積為，求證：為定值。

Answer 1

（1），；（2）詳見解析

試題分析：（1）由圓的方程可知圓心為，半徑為。因為在圓上所以它與圓心間的距離等于半徑，可求得的值。有的值后便可求的切線的方程，與軸交點即為橢圓的右焦點。從而可得橢圓的方程。（2）設，根據可得與間的關系。將代入橢圓方程再根據直線與的斜率之積為可得間的關系，即間的關系。
試題解析：解：（1）由題意可知，又  又      2分
在中，，
故橢圓的標準方程為：             6分
（2）設
∵M、N在橢圓上，∴
又直線OM與ON的斜率之積為，∴，
于是
  故為定值       13分