Question

【題目】已知函數(shù)，若曲線上始終存在兩點，使得，且的中點在軸上，則正實數(shù)的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

假設(shè)曲線上存在兩點滿足題設(shè)要求,則點只能在軸兩側(cè)，設(shè),根琚題意,可得 ,且斜邊的中點在軸上，得到的坐標，將是否存在兩點滿足題意等價轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程是否有解的問題，再對分類討論，運用導數(shù)求解，即可得到結(jié)果.

假設(shè)曲線上存在兩點滿足題意，則點只能在軸兩側(cè)，

是以為直角頂點的直角三角形，

，

不妨設(shè)，

斜邊的中點在軸上，

且，

，

，①

曲線上始終存在兩點使得,等價于方程①有解,

(1)當，即兩點都在上 ,

，

代入方程①，得，

，

而此方程無實數(shù)解,不符合題意,

（2）當時，在上，在上，

，代入①得，因為為正數(shù)可化為

，設(shè)，

，

，遞減，

，

時，，遞減，

時，，遞增，

，

即結(jié)合為正數(shù)，可得，

的范圍是，故選C.